FIKS přednáška: limity + derivace

Created by Honza Šuráň

Limita funkce: Motivace

Zajímá nás, jak se funkce chová blízko nějakého bodu nebo v nekonečnu.
Např. jak se funkce $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ chová v $x \rightarrow 0$ :

Intuice

Zkoumáme funkci $f(x)$ v bodě $a$
Přímo v bodě $a$ funkce nemusí být definována. Kolem tohoto bodu se však může chovat konzistentně.

Př. 1

Platí $x^2 - 1 = (x + 1) \cdot (x - 1)$ .
Mějme tedy funkci $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ – není definována na $x = 1$ , ale kromě tohoto bodu se chová jako $x + 1$ .

Př. 2

Mějme funkci $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ . O té je na první pohled těžké odhadnout, že kolem $x = 0$ se její hodnota rovná $f(x) = 1$ .
Jak takovou hodnotu spočítat (čistě, ne pouze odhadem z grafu)?

Jak se má limita chovat?

Chceme říct, že funkce $f$ se pro $x$ blízko bodu $a$ blíží k hodnotě $f(x) = b$ .
Chceme, aby když se "nazoomujeme" libovolně blízko, se funkce v tomto bodě víc a víc blížila této hodnotě

Intermezzo: Okolí bodu

Okolím bodu $a \in \R$ o poloměru $\epsilon > 0$ , značíme $U_a (\eps)$ , máme na mysli interval $(a - \eps, a + \eps)$ .
Pokud nás zajímá libovolné/každé okolí (nezávisle na poloměru), můžeme jej značit .
- Typicky budeme chtít, aby např. funkce byla kladná na nějakém okolí (je nám jedno, jak bude velké).

Hromadný bod

Bod $a$ nazveme hromadným bodem množiny $M \subset \mathbb{R}$ , právě když v každém okolí $U_a$ existuje bod $b \in U_a \backslash \{ a \}$ .

Pozn.: je to stejné, jako kdybychom řekli, že tam existuje nekonečně takových bodů $b_1, b_2, \dots$

Limita

Mějme funkci $f: D_f \rightarrow \R$ , hromadný bod $a \in D_f$ a bod $b \in \R$ .

Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$ , pravě tehdy když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pro každé $x$ v $U_a \cap D_f, x \ne a$ platí $f(x) \in U_b$ .

Značíme:

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b$

Tedy: Ať se na ose $y$ libovolně přiblížíme hodnotě $b$ (o libovolné $\eps > 0$ ), dokážeme na ose $x$ kolem bodu $a$ najít oboustranný interval takový, že v tomto intervalu funkce nabývá hodnot, které jsou od $b$ vzdáleny méně než o $\eps$ .

Zpátky k sin(x)/x

Jedna z vlastností limit (limita sevřené funkce): Pokud najdeme okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pro všechna $x \in U_a \backslash \{ a \}$ platí

$f(x) \le g(x) \le h(x)$

kde

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} h(x) = b$

potom

$\lim_{x \rightarrow a} g(x) = b$

Pokračování...

Pro $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ platí

$\sin x \lt x \lt \text{tg} \, x$

Upravíme:

$\begin{align} \sin x \le x &\le \text{tg} \, x \qquad \quad \text{podělíme sin x} \\ 1 \le \frac{x}{\sin x} &\le \frac{1}{\cos x} \qquad \text{otočíme zlomek} \\ 1 \ge \frac{\sin x}{x} & \ge \cos x \qquad \\ \end{align}$

a pro $x \rightarrow 0$ dosadíme za $\cos x$ :

$1 \ge \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \ge 1$

tedy $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

Pozn.: A co nekonečno?

Ano, limita funkce může být $+\infty / -\infty$ . Stejně tak můžeme zkoumat limitu funkce v $+\infty / -\infty$ .

Můžeme si definovat rozšířenou reálnou osu jako $\overline \R := \R \cup \{ +\infty, -\infty \}$ .

Nicméně (pro jednoduchost) nebudeme s těmito extrémy pracovat.

Derivace funkce: myšlenka

Jak rychle roste funkce $f$ v nějakém bodě $x$ ?

Na tento problém se dá koukat takto: Pokud o malý kousíček změním $x$ , o kolik se změní $f(x)$ ?
Protože chceme analyzovat chování nejen blízko bodu $x$ , ale přímo v něm, chceme, aby funkce $f$ byla v $x$ definována.
Můžeme se na problém koukat jako "co když $\Delta x$ půjde k nule?"
Zároveň z toho můžeme odvodit rovnici tečny v bodě: Ta je dána tím bodem a její směrnice je derivace v daném bodě

Derivace jako limita

Mějmě funkci $f$ definovanou na okolí bodu $a \in \R$ . Pokud existuje limita

$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

nazveme její hodnotou derivací funkce $f$ v bodě $a$ , značíme $f'(a)$ .

Jde tedy o poměr $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$
Alternativně se derivace $f$ podle $x$ , zkráceně $f'$ značí jako $\frac{df}{dx}$ .
Případně
$f'(a) = \left.\frac{df}{dx}\right|_{x=a}$

Alternativní definice

Místo $x \rightarrow a$ můžeme vzít rozdíl $x$ (značíme $\Delta x$ nebo v tomto případě $h$ ):

$f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

V jednom případě tedy máme hodnoty $x$ a $a$ , které jsou nekonečně blízko u sebe, v druhém případě máme $h$ jako rozdíl těchto $x$ a $a$ .

Derivace součinu

Mějme dvě funkce $f, g$ . Může se nám hodit vypočítat derivaci jejich součtu, $f \cdot g$ – např. $f(x) = x, g(x) = \sin(x)$ :

Na odvození vzorce můžeme jít přímo z definice derivace:

$\begin{align} (f \cdot g)'(x) &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)g(x) - f(a)g(a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)(g(x) - g(a)) + g(a)(f(x) - f(a))}{x - a} \\ &= f(a) \cdot g'(a) + g(a) \cdot f'(a) \end{align}$

Pokud víme

$x' = 1$
$\sin'(x) = \cos(x)$

potom pro funkci $h(x) = x \cdot sin(x)$ platí

$\begin{align} h'(x) &= (x \cdot \sin x)' \\ &= x' \cdot \sin x + x \cdot \sin x' \\ &= 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x \end{align}$

Derivace xⁿ

Pro $x \rightarrow a$ a $n \in \mathbb{N}$ platí:

$\frac{x^n - a^n}{x - a} = \frac{1}{x - a} \cdot (x - a) \, (x^{n - 1} + x^{n - 2} a + \dots + xa^{n - 2} + a^{n - 1})$

Protože $x \rightarrow a$ platí, že $x^{n - 1} = a \cdot x^{n - 2} = a^2 \cdot x^{n - 3}$ atd.

U $x$ počítáme mocniny od $n - 1$ do $0$ , takových členů je tedy celkem $n$ . Tedy pro $f(x) = x^n$ :

$\begin{align} f'(x) &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{x^n - a^n}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{1}{x - a} \cdot (x - a) \cdot n \cdot x^{n - 1} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} n \cdot x^{n - 1} \\ &= n \cdot x^{n - 1} \end{align}$

Např. mějme funkci

$g(x) = x^4$

Potom

$g'(x) = 4 \cdot x^3$

a platí

$g'(5) = 4 \cdot 5^3 = 500$

Tedy pokud u funkce $g(x) = 4 \cdot x^3$ zvětšíme $x$ v bodě $x = 5$ o malé $\eps$ , hodnota $f(x)$ se zvedne o 500.