Created by Tomáš Flídr
Za tisíciletí budovanou matematikou se ve skutečnosti skrývá několik základních principů. Pochopením těchto principů, jejich důvodů a důsledků, můžete objevit eleganci a lehkost zdánlivě sebekomplikovanějších postupů.
Už jste snad poznali, že matematika je člověku vlastní a spoustu jí děláme podvědomě, aniž bychom věděli, že se jedná o tuto vědu.
Nyní se podívejme na další oblast lidského zájmu, která je v každém člověku, ale sídlí hluboko v podvědomí. Řeč je o něčem, co je matematice na první pohled na hony vzdáleno, o umění, potažmo kráse obecně.
Ať už v hudbě, architektuře nebo výtvarném umění, krása je vždy vytvořena vzorem, který se částečně opakuje, ale nějak se mění. Příkladem může být třeba rytmus hudby nebo tance. Tyto vzory a z nich vycházející harmonie jsou právě tou strukturou krásy, za kterou se neskrývá nic jiného než - na této přednášce velmi překvapivě - matematika.
Tato orgpage je původně určena k urovnání si myšlenek a jako osnova k mé přednášce na toto téma pro studenty střední školy. Bude upravena do samostatné podoby.
Slidy původní prezentace
Pro srovnání - toto je jeden z vrcholných předrenesančních obrazů. Na první pohled má divné poměry stran, postavy jsou ploché a prostředí nepřirozené.
Zvuk je vlnění, v každém místě se střídavě zvyšuje a snižuje tlak. Naše ucho zaznamenává frekvenci, tedy jak často je tento tlak na normální úrovni. Důvod, proč tóny o oktávu zní najednou téměř jako jeden tón, je tedy ten, že se v těchto místech často potkávají (jak je vidět na obrázku).
Vedl k tomu objev zlatého řezu, tedy toho, jak vypadá člověku nejpřilatelnější obdélník.
Příliš nepřekvapí, že nejstarší část toho, co si představíte pod pojmem matematika jsou tato čísla. Jako vždy v celých dějinách šlo hlavně o peníze, respektive o majetek. První, kdo vytvořil nějaký číselný sytém byli podle všeho obyvatelé starověké Mezopotámie.
Přestože nemůžeme na nic ukázat a říct "Toto je číslo 9.", můžeme o něčem říci, že je toho devět. Toto nám dává obrovskou sílu počítat s předměty bez ohledu na to, co jsou zač - stejně s zrnky prachu, ovcemi pasoucími se na louce a objekty velikosti hvězd.
I tento nástroj je ale dvousečný - je potřeba si pořád uvědomovat, co vlastně znamenají. Jinak by se totiž mohlo stát, že sečtete dvě stokoruny a dvě desetikoruny jako 4, protože 2 + 2 = 4.
Matematiku se ve škole všichni učíme od první třídy, takže ji velmi dobře známe... A nebo ne? Co se vlastně skrývá za touto nepříliš oblíbenou součástí lidského vědění? Jak se dá matematika využít v každodenním životě? A k čemu je práce matematiků dnešní doby?
Na přednášce se Vám pokusím zodpovědět z matematického hlediska tři otázky, které by si měl pokládat každý student: "Proč?", "K čemu mi to bude?" a základní otázku života, vesmíru a vůbec. Nebojte se přijít, i pokud si s matematikou úplně nerozumíte, možná některá nedorozumění dokážu napravit.
(Garance: Nejsou vyžadovány žádné znalosti matematiky a na této přednášce se nanučíte nic konkrétního.)
Pro mě osobně je uměním nejvíce spjatým s matematikou hudba. Naprostý základ hudby, tedy souzvuk a harmonie tónů, vyplývá z jejich matematicko-fyzikální podstaty vlnění. Podstatou skladby je zase nějaká její struktura, vztahy mezi jednotlivými notami, akordy i pasážemi textu.
Alespoň nějaké použití čísel je jasné každému. Dvě jabka, tři melouny, obecně nějaké množství.
Ale pozor - ani zdaleka se nejedná o jediný význam.
Hudba používá podvědomou matematiku, zatímco výtvarné umění ji používá od dob renesance naprosto cíleně. Renesanční myslitelé objevily zákony prespektivy, díky kterým obrazy dostaly hloubku, zlatý řez, tedy jak vypadá nejpěknější obdélník, a pevně dané poměry lidského těla. Takže kdyby se někdo ptal, proč byla renesance takový pokrok v malířství, odpovědí je právě zapojení matematiky.
Další pokrok vidíme třeba na obrazu Poslední večeře opět od Leonarda da Vinciho. Stěny se zvedají a přibližují, čímž vytváří dojem prostoru. Samozřejmostí je zde i to, že lidé doopravdy vypadají jako lidé.
Někdy je způsob tvorby jasný... (tento fraktál se jmenuje Sierpinskiho trojúhelník)
Myslíte si, že existují čísla? Pokud ne, tak jak to s nimi tedy je? A pokud ano, co všechno tyto objekty jsou?
Nyní si můžeme znovu položit otázku na předmět zkoumání matematiky. Matematika zkoumá různé vlastnosti, které můžeme vyjádřit například čísly, a jejich vzájemné vztahy. Tomuto všemu dohromady se říká struktura - ať už struktura čísel, struktura vzájemně se ovlivňujících fyzikálních veličin nebo struktura sociálních sítí. Nejelegantnější je tedy shrnutí, že matematika je věda o strukturách.
Nejen že se matematika objevuje ve všední kráse světa kolem nás, ale matematické vzory umí také být nádherné samy o sobě. Obrazcům, které při nějakém přiblížení vypadají stejně, se říká fraktály.
... ale existují i fraktály využívající hodně pokročilou matematiku, ve kterých se vzor skrývá hodně hluboko (zde Mandelbrotova množina).
Kombinaci matematiky a fyziky využívají i autoři vzhledu funkčních i pěkných věcí - geometrické zákonitosti a rozkládání gravitační síly ocení architekti, návaznost křivek a další aerodynamické prvky zase firḿy vyrábějící dopravní prostředky.
A mimochodem - podobné vzory se objevují i v živé přírodě v podobě tvarů listů, šišek nebo právě proporcí těla.
Nejde přitom o nic překvapivého - organismy i neživá příroda vznikají postupně bez nějaké pevně vymezené doby trvání, takže menší části mohou být zaměnitelné s celkem. Kromě toho fraktály umožňují pokrýt plochu nejjemnějším možným způsobem.
Kupříkladu se docela často lidem hodí přesně vědět, kde jsou. Ať už se jedná o letadla, turisty na výletě nebo jednotky na vojenských operacích. Nejznáměnší systém na určení polohy je GPS, Global Position System, vytvořený Ministerstvem obrany USA. Ten zjistí vaši polohu na základě vzdáleností od alespoň tří družic. Tyto vzdálenosti se vypočítají podle doby přenosu signálu (tedy vlny putující přibližně rychlostí světla) mezi daným zařízením a satelitem.
Na první pohled až na nějaké to počítání docela jednoduché, že? Bohužel je to o něco komplikovanější. Čas totiž neběží stejně rychle na Zemi a na její orbitě, takže při počítání bez nějaké úpravy vznikaly poměrně velké odchylky. Tento jev objasňuje teorie relativity a díky poměrně pokročilé matematice jej umí přesně spočítat, a tedy i opravit.
Abychom mohli o číslech alespoň něco říci, musíme vědět, co všechno vlastně jsou. Obzvláště v dnešní době se totiž rozhodně nejedná pouze o množství předmětů.
Nejjednodušší čísla jsou ta, která určují nějaký počet. Jedno jablko, dvě jablka, padesát jablek..., takto uměli počítat už starověcí úředníci.
Potom se matematiky chopili Řekové s jejich geometrickým pohledem na svět. Číslo pro ně bylo délkou nějaké úsečky. Ty uměli k sobě přičítat, odčítat je od sebe a nebo je násobit a dělit přirozenými čísly. To je přivedlo k myšlence, že se všechny délky v geometrii dají vyjádřit zlomkem dvou přirozených čísel. Čáru přes rozpočet jim ale udělala úhlopříčka jednotkového čtverce (čtverce o délce hrany 1), pro kterou to neplatí. Podle pověsti toho chudáka, který to dokázal, utopili.
Spolu s objevem záporných čísel a nuly, tedy když dlužíte tolik, kolik máte, nebo ještě více, byla čísla považována za něco, co se dá vyjádřit jako zápis číslic za sebou, ať už konečný nebo ne, popřípadě znázornit na číselné ose. Ta stačí v naprosté většině případů, matematikům stačila téměř až do novověku.
Dnešek je érou počítačů, které se vším pracují jako s čísly. A nejen proto se hodí si pod pojmem čísla počítat libovolnou charakteristiku čehokoli.
Krásným příkladem přirozeného fraktálu je tento druh květáku, Romanesco. Všimněte si, že jednotlivé části opravdu vypadají podobně jako celek. A ano, toto se prý doopravdy jí.
Bezerporu jednou z nejzajíměvějších věcí v celé informatice je umělá inteligence nebo nějaké strojové učení, tedy naprogramování počítače tak, aby uměl něco dělat sám - rozhodovat se nebo něco poznávat. Tento obor matematiky, který stojí za vylepšením Google překladače, hlasovými asistenty a programem, který vás porazí v každé hře (šachy až Starcraft II), má podobné základy jako soustavy rovnic a vektory.
Bohužel je i tento krásný nástroj ohromně mocný, takže lze zneužít například k rozpoznávání tváří demonstrujících a jejich identifikaci.
Například můžeme jednoduše zapsat, že 3+9=9+3; 2+5=5+2 a tak dále pomocí x + y = y + x pro všechna reálná čísla x a y. (Tato vlastnost sčítání se jmenuje komutativita.)
První, s čím se v matematice ve škole setkáváte, jsou čísla. Ale co jsou čísla vlastně zač?
Už ze školy všichni vidíme, že matematika vytváří silné nástroje pro ostatní přírodní vědy, zejména fyziku a chemii. Nejde pouze o rovnice, celá jedna velká oblast matematiky se zaměřuje na počítání nějakých změn, tedy hlavně pohybu. Mimochodem, tento podobor matematiky vychází z funkcí.
Asi nepřekvapí ani to, že na matematice stojí věda o strojích pracujících s čísly, informatika. S matematikou sdílí některé principy a způsoby myšlení, například opakování nějakých vzorů. Kromě toho informatika používá vyspělou matematiku pro zefektivnění algoritmů a zrychlení (často vůbec umožnění) výpočtů.
Pokud znáte klíč, nemělo by zašifrování ani rozšifrování zabrat moc času. Proto se používají úlohy, které je jednoduché vytvořit, ale spožité vyřešit. Velký kus tohoto oboru vychází z prvočísel - vynásobit dvě obrovská prvočísla je mnohem jednodušší než rozdělit velké číslo na součin dvou prvočísel.
V reálných výpočtech se zase často setkáváme s počítáním z nějakých vztahů, které určitě nechce znát pouze slovně - pokud si člověk uvědomí, že písmeno může zastupovat čísla, je pro něj F=m*g jednodušší než slovní vyjádření: Gravitační síla je rovna součinu hmotnosti přitahovaného tělesa a gravitačního zrychlení.
Obrovským pokrokem v matematickém myslení je uvědomit si, že se některá čísla chovají podobně a můžeme je nahradit proměnnými, tedy třeba písmeny. Získáme tím opět obrovskou sílu v obecnosti. Místo složitého počítání s konkrétními čísly můžeme výpočet provést pouze jednou a poté už jen dosazovat do takto zjednodušeného vzorce.
Můžeme třeba říci, že pokud mají dvě učebny stejné číslo na místě desítek, jsou ve stejném patře. Nebo nás třeba může zajímat, jestli sedí počet židlí a lavic ve třídách, jestli někde něco nepřebývá nebo nechybí. Před dnem studenstva školní parlament řešil, kolik musí být kapacita přednášek, aby si všichni mohli nějak vybrat...
Všechny druhy umění svým způsobem hledají dokonalost. Matematika je jediná oblast lidského vědění, která jí dosáhla. Nevíme všechno, ale víme, že úplně všechno nikdy vědět nebudeme. Pro někoho, kdo vidí do matematiky, je ona samotná nejčistší krásou. Elegance důkazu, kdy se jasnými a zároveň překvapivými logickými kroky dojde k nezpochybnitelnému řešení je klenotem lidského vědění.
To už se ale dostáváme k moc velké abstraktnosti, takže se raději podívejme, kde se v dnešní době využívá moderní matematika.
Často se vám stává, že chcete zachovat nějaké tajemství. Určitě nechcete, aby někdo mohl měnit čísla na bankovním účtě, ani číst vaše soukromé zprávy. Matematika společně s informatikou vytváří tyto šifry.
Když se pozorně zadíváte vedle sebe, zjistíte, že celý svět je provázaný. Zjednodušeně vzato jeho součásti často tvoří nějaké sítě s uzly, které jsou nějak spojené. Ukázkovým příkladem jsou třeba sociální sítě.
Jednotlivé uzly i jejich spojení můžou mít své vlastnosti a vzájemně se ovlivňovat.
Vnímání těchto provázání a jejich důsledků je tedy také matematika. Sice o tom nevíte, ale její principy využíváte nevědomě při sociálních interakcích nebo třeba při pohledu na provázanost dějinných událostí.
Další oblastí, kde matematika hraje naprosto zásadní roli je ekonomie. Staví na ní úplně vše - od výpočtů splátek půjčky až po odhad vývoje kurzů měn.
Jaký je nejjednodušší vztah mezi dvěma objekty, ať už čísly nebo čímkoli jiným?
Může to být ta stejná věc. Dvě čísla, která se rovnají, tvar stejného tvaru na stejném místě a nebo prostě jedna a tatáž věc.
Pokud to platí pro nějakou kombinaci čísel (a proměnných), dostaneme další z úžasných nástrojů, které matematika má a poskytuje ostatním vědám.
Tím se dostáváme k další obrovské části matematiky a vlastně i reálného světa. Různé objekty, řekněme místnosti na této škole, mají nějaké vlastnosti, které můžeme reprezentovat čísly, třeba číslo učebny, počet židlí...
Nestačí nám ale zkoumat tyto vlastnosti odděleně, chceme vidět, jak spolu souvisí.
Velmi blízko k ekonomii má takzvaná teorie her, která odhaduje a vyčísluje strategie pro spor několka stran. Nejčastějším případem je sice ekonomie, ale největším sporem je válka. V určité míře i tato část matematiky pomohla "nezahoření" studené války.
Docela často se dostáváme do situace, kdy nějaká čísla, popřípadě hodnoty nějakých veličin, známe a něco chceme dopočítat. Na obou stranách rovnice je to stejné číslo, takže jej můžeme docela libovolně upravovat (pozor - ne všechny úpravy lze vzít zpět). Pokud platí nějaká rovnost, levá strana rovnice se rovná pravé, tak na obou stranách rovnice jsou ta stejná čísla. A pokud dvě stejná čísla například zdvojnásobíme, tak budou pořád stejná, ne?
Jak jsme ale už zmínili, nechceme znát výsledek jenom pro nějaká konkrétní čísla. Chceme vědět, jak se příroda chová vždy, odhalit skryté zákonitosti a přesně je vyjádřit.
To ale ani zdaleka není vše - použití principů a znalostí moderní matematiky je v nějakém ohledu přínosné pro všechny oblasti lidského zájmu, od přírodních věd až po filozofii.
Dnešní svět produkuje obrovské množství údajů, mnohem více, než zvládne libovolný člověk sám zpracovat. Ale tyto data chceme využívat - vyhledavače a eshopy pro lepší výsledky, ministerstva pro znalost stavu a vývoje státu a třeba lékaři pro odhalování rakoviny. Tento rozvíjející se obor je naprosto zásadně propojen s informatikou a využívá většinu středoškolské matematiky,
Pokud auto spotřebuje 6 litrů benzínu na 100 kilometrů, kolik je potřeba nabrat na 500 kilometrů cesty?
Mám spoustu snímků takových, že o každém jejich pixelu vím přes tisích dalších čísel. Některé pixely jsou rakovinné buňky, jiné zdravé. Kdyby se někomu podařilo natrénovat počítač, aby to dokázal rozpoznat, výrazně by zpřesnil a zrychlil diagnostiku tohoto typu rakoviny.
Přírodní vědy často popisují svět, ve kterém žijeme. Máme tedy nějakou představu o tom, jak se chová, podvědomé chápání jednodušších zákonitostí.
Touto induicí můžeme nahlédnout do fyzikálních vzorců. Tak třeba rychlost: Z chápání tohoto slova víme, že čím dále dojedeme za stejný čas, tím rychleji pojedeme. Zvětšování dráhy ve vzorci tedy musí zvyšovat rychlost.
Čím déle ale pojedeme stejnou vzdálnost, tím pomalejší budeme. Zvyšování času tedy musí rychlost zmenšovat.
Nyní nám stačí si uvědomit, že tolikrát, kolikrát čas nebo dráhu změníme, se změní i rychlost. Dostaneme tedy onen známý vzorec, v=s/t.
Chtěl bych, abyste si z této přednášky odnesli jednu myšlenku: Matematika nedělá věci složitými. Ony jsou složité a ona je popisuje a zjednodušuje tak, abychom je mohli uchopit a pochopit.
Chvílemi mám pocit, jako bych slepcům vysvětloval barvy. Ale ne, oni nejsou slepí - jen vidí méně než já a nejsou zvyklí používat oči. Když jim řeknu jak je otevřít a pořádně posvítím, snad uvidí.
![Anonym - Votive Painting of Archbishop Jan Očko of Vlašim - Google Art Project[1]](https://orgpad.info/img/CPH-aTjbFERapJzR0XedKE?token=Bc2DuewUxHsbSWQMdzm7H-)
![Mandelbrot sequence new[1]](https://orgpad.info/img/CvkE6Xq95DbJbNoF5CYxB8?token=DOw0IHw8NLZZAbL2Pf1z1L)
![Fractal Broccoli[1]](https://orgpad.info/img/AOSKfd1eRH9bj1W4RaLAm1?token=AmWK8A9uNF9ZI45kK1lZwA)